Nato in Francia e di origini armene, Alain cresce nelle giovanili dell’Olympique Marsiglia, squadra che il destino vorrà ritrovare da avversaria in finale di Coppa Uefa nel 1999. Dopo un annata nell’Istres a inizio anni Novanta, Boghossian torna alla casa madre: nel Marsiglia gioca 28 gare (con 2 reti) nel 1993/94, prima di approdare in Serie A, nel Napoli.

Tra il 1994 e il 1997, Alain gioca con la maglia azzurra 69 gare, segnando 4 reti e conquistandosi un posto in Nazionale, con la quale debutta nel 1997 e con la quale vincerà l’anno successivo il Mondiale in Francia. Nell’anno di quella vittoria, Boghossian è intanto passato alla Sampdoria: in una stagione colleziona 36 presenze e 8 reti.

Nel 1998/99 passa al Parma. Al primo anno segna in ognuna delle competizioni che vedono i Crociati protagonisti: oltre a 3 reti in campionato mette la firma anche una volta rispettivamente in Coppa Italia e Coppa Uefa – entrambe vinte dal Parma – oltre alla rete decisiva siglata nella finale di Supercoppa Italiana contro il Milan all’inizio della stagione successiva.